Üçgenin iç açıları neden hep 180°?
Hangi üçgeni çizersen çiz, aynı sonuç. Neden?
Tepeden tabana paralel bir doğru çiz. Tabandaki iki açı, iç ters açı olarak tepeye taşınır ve üçü yan yana düz bir doğru oluşturur: 180°.
Tek şekille ispat
Ezberlediğin formülün
arkasındaki şekil
Her biri bir dakikalık bir fikir. Oynat düğmesine bas, şeklin formülü kendiliğinden söylemesini izle.
Dış açılar toplamı neden hep 360°?
Kenar sayısı değişiyor, toplam değişmiyor.
Çokgenin çevresinde yürüdüğünü düşün: her köşede dış açı kadar dönersin. Başladığın yere aynı yöne bakarak dönersin, yani toplam bir tam tur. Çokgeni küçültünce dış açılar bir noktada birleşip tam daireyi gösterir.
1 + 2 + … + n neden n(n+1)/2?
Küçük Gauss’un 1’den 100’e toplamı birkaç saniyede bulduğu söylenir.
Toplamı merdiven gibi diz. Aynı merdivenden bir tane daha alıp ters çevirerek üstüne koy: n’ye (n+1) boyutunda bir dikdörtgen olur. Merdiven bu dikdörtgenin tam yarısıdır.
(a + b)² neden a² + 2ab + b²?
En sık yapılan hata: (a + b)² = a² + b² sanmak.
Kenarı a + b olan kareyi çiz ve kenarları a ile b’den böl. İçinde bir a², bir b² ve iki tane ab dikdörtgeni çıkar. İki dikdörtgeni unutmak, o yaygın hatanın ta kendisidir.
1/2 + 1/4 + 1/8 + … neden tam 1?
Sonsuz tane sayı toplanıp sonlu bir sonuç çıkabilir mi?
Bir kareyi yarıya böl, kalanın yarısını boya, sonra kalanın yarısını… Her adımda boşluk yarıya iner ama boyalı alan karenin dışına asla taşmaz. Boşluk sıfıra yaklaştıkça toplam tam 1 kareye ulaşır.
Dairenin alanı neden πr²?
Bir pizzayı dilimleyip yeniden dizersen ne olur?
Daireyi ince dilimlere ayır ve dilimleri bir aşağı bir yukarı bakacak şekilde yan yana diz. Ortaya, uzun kenarı çevrenin yarısı (πr), yüksekliği r olan bir dikdörtgene yaklaşan şekil çıkar. Alanı πr · r = πr².
Pisagor’a bir başka bakış
Dört üçgen ve küçük bir kare: a² + b² = c² için yeter.
Hipotenüsü c olan kareyi, bacakları a ve b olan dört eş dik üçgen ve ortada kenarı b − a olan küçük bir kareyle doldur. Alan hesabı: c² = 4 · ab/2 + (b − a)² = a² + b².
Türev ve integral neden birbirinin tersi?
Biri eğim, öbürü alan. Aralarındaki bağ ne?
Eğrinin altındaki alanı x’e kadar biriktiren A(x) fonksiyonunu düşün. x biraz (h kadar) ilerleyince alana yüksekliği f(x), eni h olan ince bir şerit eklenir. Yani A(x+h) − A(x) ≈ f(x)·h ve buradan A′(x) = f(x).
Çarpımın türevi neden (fg)′ = f′g + fg′?
Neden türevlerin çarpımı değil de iki terimin toplamı?
Kenarları f ve g olan bir dikdörtgen düşün. f biraz, g biraz büyüyünce alana iki ince şerit (g·Δf ve f·Δg) ve köşede minicik bir kare (Δf·Δg) eklenir. Değişim sıfıra giderken köşe parçası yok olur, geriye iki şerit kalır.
Aritmetik ortalama neden geometrik ortalamadan büyük?
(a + b)/2 ≥ √(ab): tek bir yarım çemberle.
Çapı a + b olan bir yarım çember çiz. Çapı a ve b uzunluğunda iki parçaya ayıran noktadan dik çık: bu dikmenin boyu √(ab) olur. Yarıçap ise (a + b)/2. Hiçbir dikme yarıçaptan uzun olamaz; eşitlik yalnızca a = b iken.
Yamuğun alanında neden ortalama var?
Alan = (a + c)/2 · h. Bu ikiye bölme nereden geliyor?
Yamuğun bir kopyasını yarım tur döndürüp yanına yapıştır. İki yamuk birlikte, tabanı a + c ve yüksekliği h olan bir paralelkenar oluşturur. Bir yamuk bunun yarısıdır: (a + c) · h / 2.
Parabolün tepesi neden x = −b/2a’da?
Türev bilmeden tepe noktasını bulmak mümkün mü?
Parabol, simetri ekseninin iki yanında aynaya bakar gibi aynıdır. Bu yüzden iki kökün tam ortası tepe noktasının x’idir. Kökler toplamı −b/a olduğundan ortası (x₁ + x₂)/2 = −b/2a.
i ile çarpmak neden bir dönüş?
Eksi birin karekökü düzlemde ne anlama gelir?
Bir karmaşık sayıyı i ile çarpınca ok, uzunluğu değişmeden çeyrek tur (90°) döner: i · (3 + 2i) = −2 + 3i. İki kez i ile çarpmak yarım tur demektir; yarım tur da sayıyı −1 ile çarpmakla aynıdır. İşte bu yüzden i² = −1.
Mutlak değer neden bir uzaklık?
|x − 1| ≤ 3 eşitsizliğini tek bakışta çözmek.
|x − 1|, x ile 1 arasındaki uzaklıktır. “Uzaklık en çok 3” demek, 1’in sağına ve soluna 3 birim gitmek demektir. Böylece çözüm doğrudan okunur: −2 ≤ x ≤ 4.