Üniversite · Cebir
İki okun iç çarpımı, birinin uzunluğu ile öbürünün onun üzerindeki izdüşümünün çarpımıdır: u·v = |u| · |v| cos θ. İzdüşüm, okun kendisinden hiçbir zaman uzun olamaz; cos θ en fazla 1’dir. Düzlemde bu, (ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²) demektir.
İspat adımları
- u = (a, b), v = (c, d) için u·v = ac + bd = |u||v| cos θ.
- |cos θ| ≤ 1 olduğundan |u·v| ≤ |u||v|.
- Kare alınca: (ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²).
- Cebirsel kontrol: (a² + b²)(c² + d²) − (ac + bd)² = (ad − bc)² ≥ 0; eşitlik u ∥ v iken.