Üniversite · Geometri
Yarım kürenin yanına yarıçapı ve yüksekliği r olan bir silindir koy, içinden tepesi tabanda olan bir koni çıkar. Tabandan h yükseklikte yarım kürenin kesiti yarıçapı √(r² − h²) olan bir daire: alanı π(r² − h²). Silindir eksi koninin kesiti ise πr² − πh²: aynı alan. Her yükseklikte kesitleri eşit olan cisimlerin hacimleri eşittir (Cavalieri).
İspat adımları
- h yükseklikte yarım kürenin kesiti: yarıçap √(r² − h²), alan π(r² − h²).
- Silindir eksi koninin kesiti: dış yarıçap r, iç yarıçap h; alan πr² − πh².
- Her h için kesit alanları eşit ⇒ hacimler eşit (Cavalieri ilkesi).
- Yarım küre = πr²·r − (1/3)πr²·r = 2πr³/3; tam küre = 4πr³/3.