Lise · Cebir
Çapı a + b olan yarım çemberde yarıçap aritmetik ortalama, çapı a ve b’ye bölen noktadan çıkan dikme geometrik ortalama. Dikmenin ucundan yarıçapa indirilen parça harmonik ortalamayı, çemberin tepesinden bölme noktasına çizilen eğik parça da kareli ortalamayı verir. Dik üçgenlerde hipotenüs dik kenardan uzundur; zincir buradan okunur.
İspat adımları
- A, B uçlar; |AD| = a, |DB| = b; O merkez: |OG| = |OC| = (a+b)/2 (aritmetik ortalama).
- D’den dikme G: |DG|² = a·b ⇒ |DG| = √(ab) (geometrik). ODG dik: DG ≤ OG.
- D’den OG’ye dikme ayağı H: |GH| = |DG|²/|OG| = 2ab/(a+b) (harmonik). GHD dik: GH ≤ DG.
- C tepe noktası: |CD|² = |OC|² + |OD|² = ((a+b)² + (a−b)²)/4 = (a²+b²)/2 ⇒ |CD| = kareli ortalama; OCD dik: OC ≤ CD.